Sujet Bac C Niger 2019
Exercice 1
On considère la suite des entiers et on appelle
l’écriture de la suite dont l’écriture comporte
fois le chiffre
.
1) A l’aide de la somme des termes d’une suite géométrique, démontrer que :
2) Cas où ,
a) Vérifier que . En déduire le reste dans la division de
par
Démontrer que est divisible par 17 .
b) Justifier que . En déduire que pour tout entier naturel
est divisible par
3) Cas où
a) Vérifier que En déduire le reste dans la division de
par
Démontrer que est divisible par
b) Justifier que . En déduire que pour tout entier naturel
est divisible par
Exercice 2
Dans cet exercice, n désigne un entier naturel non nul. Pour tout n, on pose :
- a) A l’aide d’une intégration par partie, montrer que
b) Démontrer que, pour tout, on a :
c) Prouver que, pour tout, on a
- a) Démontrer que :
b) En déduire que
c) Que peut-on déduire pour la suite?
3. Pour tout on pose :
Déduire des questions précédentes la limite de la suite
Problème
Le plan est muni d’un repère orthonormal .
Partie A
1) A tout point du plan, on associe le point
symétrique de
par rapport à la droite
d’équation
, puis
‘ symétrique de
par rapport à la droite d’équation :
.
f désigne l’application qui à associe le point
‘.
a) Démontrer que si a pour coordonnées
, m’a pour coordonnées
.
b) Démontrer que 0 est le seul point invariant par .
c) Démontrer que lorsque est distant de
‘ et
.
En déduire la nature de f.
d) Retrouver la nature de f par des considérations géométriques (sans calcul).
2) est l’application qui au point
associe le point
tel que :
a) Montrer que °
où
désigne une translation dont vous précisez le vecteur.
b) Déduisez-en que est une rotation ; préciser son angle et son centre
.
c) Le point décrit la droite
, quel est l’ensemble des points
? Construisez-le.
d) Le point décrit le cercle
d’équation
. Quel est l’ensemble des point M ? Construisez-le.
Partie B
1) A tout point (
), l’application
associe le point
tel que :
désigne un réel quelconque
Montrer que est une rotation dont on précisera le centre et l’angle. Quelle est l’application
lorsque
?
2) A tout point (x, y), l’application
associe le point
tel que :
et
sont des réels quelconques,
non nul
a) Montrer que 团
où t’ désigne une translation.
b) Etudier le cas
c) On suppose que . Montrer que
est une rotation. Préciser son angle et les coordonnées
de son centre
.