Sujet maths Bac C Niger 2019

Sujet Bac C Niger 2019

Exercice 1

On considère la suite des entiers 31,331,3331, \ldots \ldots et on appelle U_{n} l’écriture de la suite dont l’écriture comporte \mathbf{n} fois le chiffre \mathbf{3}.

1) A l’aide de la somme des termes d’une suite géométrique, démontrer que :

    \[\mathbf{U}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{3}\left(10^{n+1}-7\right)\]

2) Cas où \mathrm{n}=\mathbf{8},
a) Vérifier que 10^{2} \equiv-2[(17)]. En déduire le reste dans la division de 10^{9} par 17 .
Démontrer que \mathbf{U}_{8} est divisible par 17 .
b) Justifier que 10^{10} \equiv 1[17]. En déduire que pour tout entier naturel \mathrm{U}_{16 \mathrm{k}+8} est divisible par 17 .

3) Cas où \mathrm{n}=11
a) Vérifier que 10^{2} \equiv+5[19] . En déduire le reste dans la division de 10^{12} par 19 .
Démontrer que U_{11} est divisible par 19 .
b) Justifier que 10^{18} \equiv 1[19]. En déduire que pour tout entier naturel U_{18 k+11} est divisible par 19 .

Exercice 2

Dans cet exercice, n désigne un entier naturel non nul. Pour tout n, on pose :

    \[\mathbf{I}_{\mathrm{n}}<em>=\frac{(-1)^{n}}{n !} \int</em>{1}^{n}(\ln t)^{n} d t\]

  1. a) A l’aide d’une intégration par partie, montrer que I_{1}=-1
    b) Démontrer que, pour tout \mathrm{n}, on a : I_{n+1}=I_{n}+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1) !} e
    c) Prouver que, pour tout \mathrm{n}, on a : I_{n}=e\left(\frac{1}{0 !}-\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n !}\right)-1
  1. a) Démontrer que : 0 \leq \int_{1}^{e}(\ln t)^{n} d t \leq e-1
    b) En déduire que \left|\mathrm{I}_{\mathrm{n}}\right| \leq \frac{e-1}{n !}
    c) Que peut-on déduire pour la suite \left(I_{n}\right) ?

3. Pour tout \mathrm{n} on pose : S_{\mathrm{n}}=\frac{1}{0 !}-\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n !}
Déduire des questions précédentes la limite de la suite \left(\mathbf{S}_{\mathbf{n}}\right)

Problème

Le plan est muni d’un repère orthonormal \operatorname{direct}(0, \vec{\imath}, \vec{\jmath}).

Partie A

1) A tout point m du plan, on associe le point \mu symétrique de m par rapport à la droite \Delta d’équation y=x, puis m ‘ symétrique de \mu par rapport à la droite d’équation : \boldsymbol{y}=\mathbf{0}.
f désigne l’application qui à m associe le point m ‘.
a) Démontrer que si \mathrm{m} a pour coordonnées (x, y), m’a pour coordonnées (y,-x).
b) Démontrer que 0 est le seul point invariant par \mathrm{f}.
c) Démontrer que lorsque \mathbf{m} est distant de \mathbf{O}, \mathbf{O m}=\mathbf{O m} ‘ et \left(\overrightarrow{\boldsymbol{O m}}, \overrightarrow{\boldsymbol{O m}^{\prime}}\right)=-\frac{\pi}{2}.
En déduire la nature de f.
d) Retrouver la nature de f par des considérations géométriques (sans calcul).

2) T_{1} est l’application qui au point m(x, y) associe le point M(X, Y) tel que : \left{\begin{array}{l}X=1+y \ Y=1-x\end{array}\right.
a) Montrer que \mathrm{T}_{1}=\mathrm{t} ° \boldsymbol{f}\mathrm{t} désigne une translation dont vous précisez le vecteur.
b) Déduisez-en que T_{1} est une rotation ; préciser son angle et son centre \omega.
c) Le point \mathbf{m} décrit la droite \Delta, quel est l’ensemble des points \mathbf{M} ? Construisez-le.
d) Le point \mathrm{m} décrit le cercle \mathrm{C} d’équation x^{2}+y^{2}=2. Quel est l’ensemble des point M ? Construisez-le.

Partie B

1) A tout point \mathrm{m} ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ), l’application \mathrm{T}_{1} associe le point \mathrm{M}^{\prime}\left(\mathrm{X}^{\prime}, \mathrm{Y}^{\prime}\right) tel que : \left{\begin{array}{c}X^{\prime}=x \sin (\theta)+y \cos (\theta) \ Y^{\prime}=-x \cos (\theta)+y \sin (\theta)\end{array} \quad(\theta\right. désigne un réel quelconque )

Montrer que T_{1} est une rotation dont on précisera le centre et l’angle. Quelle est l’application T_{1} lorsque \sin (\theta)=1 ?

2) A tout point \mathbf{m} (x, y), l’application \mathbf{T}_{1} associe le point \mathbf{M}^{\prime \prime}\left(\mathbf{X}^{\prime \prime}, \mathbf{Y}^{\prime \prime}\right) tel que : \left{\begin{array}{l}X^{\prime \prime}=\alpha+x \sin (\theta)+y \cos (\theta) \ Y^{\prime \prime}=\alpha-x \cos (\theta)+y \sin (\theta)\end{array} \quad(\alpha\right. et \theta sont des réels quelconques, \alpha non nul )
a) Montrer que \mathbf{T}<em>{1}=\mathbf{t}^{\prime}\mathbf{T}</em>{2} où t’ désigne une translation.
b) Etudier le cas \sin (\theta)=1
c) On suppose que \sin (\theta) \neq 1. Montrer que \mathrm{T}<em>{1} est une rotation. Préciser son angle et les coordonnées \left(x</em>{0}, y_{0}\right) de son centre \Omega.

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